在牛顿和莱布尼兹发明微积分之前，数学家费马，沃利斯，卡瓦列里就已经解决了X^n曲线下的面积，他们的方法今天看来，仍然是非常巧妙的，美妙的数学思想源于一颗伟大的数学头脑，今天我们就来欣赏业余数学之王费马的方法
第一：现代方法
如下是X^2,X^3,X^4的指数函数图形，
一般的函数公式就是
用现代书本上黎曼求和的方法进行细分
结合牛顿-莱布尼兹公式得到
这是现代教科书上的方法，看上去很简单
第二：费马的方法
费马首先引入了几何级数的概念，如下图
上述的几何级数源于如下公式
费马将X^n曲线划分成不相等的区间，而且是使用几何级数来确定每个小矩形的宽度，如下图，且0<r<1
那么每个矩形的宽度就是：它们是按几何级数增长
接着确定每个矩形的高度，如下图：带入X^n公式得到
这样每个矩形的面积就是
把所有小矩形的面积加起来就是X^n图形下的面积，其结果取决于r
由费马引入的几何级数求和得到
化简上述表达式，得到
当r无限趋近1时，上述表达式的分母就等于n+1，所以费马就得到了X^n曲线下的面积，这和微积分公式所得到的结果完全一致
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