很多时候，我们知道三角形三边的长，要求三角形的面积。你知道怎样求吗？
设三角形三边长为a、b、c，作c边上的高h把c分成两段x和y。我们的做法是先求出高h的长度，进而用最基本的面积公式S△ABC=ch/2求出三角形的面积。
三角形面积公式推导
由勾股定理得：
a2-x2=b2-y2，①
x+y=c。②
②代入①得：
a2-x2=b2-(c-x)2=b2-c2-x2+2cx，
x=(a2+c2-b2)/2c。③
③代入②得：
y=(b2+c2-a2)/2c。④
我们用③或④都可以求出h。
h2=a2-x2
=a2-((a2+c2-b2)/2c)2
=(2a2b2+2b2c2+2c2a2-a?-b?-c?)/4c2
这样得到的h有四次方，数据比较大，不太好算。我们可以想办法化成好算的形式。
我们看它的分子部分：
2a2b2+2b2c2+2c2a2-a?-b?-c?
这是一种对称形式，应该可以分解因式。那么，怎样去分解因式呢？
我们先考察以下多项式的平方：
(a2+b2+c2)2
=a?+b?+c?+2a2b2+2a2c2+2b2c2，
(a2+b2-c2)2
=a?+b?+c?+2a2b2-2a2c2-2b2c2，即
-(a2+b2-c2)2
=-a?-b?-c?-2a2b2+2a2c2+2b2c2，
这个有点像，还有一个项符号不同。
等式两边同时加上4a2b2：
4a2b2-(a2+b2-c2)2
=-a?-b?-c?+2a2b2+2a2c2+2b2c2
所以有
-a?-b?-c?+2a2b2+2a2c2+2b2c2
=4a2b2-(a2+b2-c2)2
=(2ab+a2+b2-c2)(2ab-a2-b2+c2)
=((a+b)2-c2)(c2-(a2-b2))
=(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)
所以，
h2=(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)/4c2，
h=√((a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b))/2c，
S△ABC=ch/2
=√((a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b))/4。
这个三角形面积公式没有平方项，比较好算。
还可以把4放进根号里面继续化简：
S△ABC
=√(((a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b))/16)
=√(((a+b+c)/2)((a+b-c)/2)((c+a-b)/2)((c-a+b)/2))
=√(((a+b+c)/2)((a+b+c-2c)/2)((c+a+b-2b)/2)((c+a+b-2a)/2))
(a+b+c)/2是周长的一半，记为p，则
S△ABC=√(p(p-a)(p-b)(p-c))。
这就是著名的海伦公式。这种形式计算量最小，也比较好记。
总结一下：在推导用三角形的三边长求三角形的面积时，在化简过程中遇到分解因式，最终化成比较简便的形式，便于计算和记忆。
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